7 Goldener Schnitt

Der goldene Schnitt wird allgemein als äußerst harmonisches Verhältnis zweier Seitenlängen zueinander angesehen. Zwei Zahlen stehen im goldenen Schnitt zueinander, wenn sich die Summe beider Zahlen zur größeren Zahl wie die größere Zahl zur kleineren Zahl verhält. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen nähert sich dem goldenen Schnitt an.

7.1 Berechnung

Berechnen wir zunächst das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Glieder der allgemeinen Fibonaccifolge anhand der geschlossenen Form:

$${\frac{{f_{n+1}}}{{f_{n}}}}$$ = $${\frac{{\frac{c_{1}\lambda^{n+1}-c_{2}\mu^{n+1}}{\lambda-\mu}}}{{\frac{c_{1}\lambda^{n}-c_{2}\mu^{n}}{\lambda-\mu}}}}$$ = $${\frac{{c_{1}\lambda^{n+1}-c_{2}\mu^{n+1}}}{{c_{1}\lambda^{n}-c_{2}\mu^{n}}}}$$ = $${\frac{{\frac{c_{1}\lambda^{n+1}-c_{2}\mu^{n+1}}{\lambda^{n}}}}{{\frac{c_{1}\lambda^{n}-c_{2}\mu^{n}}{\lambda^{n}}}}}$$ = $${\frac{{c_{1}\lambda(\frac{\lambda}{\lambda})^{n}-c_{2}\mu(\frac{... ...a})^{n}}}{{c_{1}(\frac{\lambda}{\lambda})^{n}-c_{2}(\frac{\mu}{\lambda})^{n}}}}$$ = $${\frac{{c_{1}\lambda-c_{2}\mu(\frac{\mu}{\lambda})^{n}}}{{c_{1}-c_{2}(\frac{\mu}{\lambda})^{n}}}}$$

mit c₁ : = (f₁ + ${\frac{{f_{0}}}{{\lambda}}}$) und c₂ : = (f₁ + ${\frac{{f_{0}}}{{\mu}}}$)

Dieser Quotient strebt gegen einen Grenzwert, da $\left\vert\vphantom{\frac{\mu}{\lambda}}\right.$${\frac{{\mu}}{{\lambda}}}$$\left.\vphantom{\frac{\mu}{\lambda}}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}}\right.$${\frac{{1-\sqrt{5}}}{{1+\sqrt{5}}}}$$\left.\vphantom{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}}\right\vert$ = ${\frac{{\sqrt{5}-1}}{{\sqrt{5}+1}}}$ < 1 und daher $\lim_{{n\rightarrow\infty}}^{}$(${\frac{{\mu}}{{\lambda}}}$)ⁿ = 0 gilt:

$$\lim_{{n\rightarrow\infty}}^{}$$$${\frac{{f_{n+1}}}{{f_{n}}}}$$ = $$\lim_{{n\rightarrow\infty}}^{}$$$${\frac{{c_{1}\lambda-c_{2}\mu(\frac{\mu}{\lambda})^{n}}}{{c_{1}-c_{2}(\frac{\mu}{\lambda})^{n}}}}$$ = $${\frac{{c_{1}\lambda-c_{2}\mu\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{\mu}{\lambda})^{n}}}{{c_{1}-c_{2}\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{\mu}{\lambda})^{n}}}}$$ = $${\frac{{c_{1}\lambda-0}}{{c_{1}-0}}}$$ = $$\lambda$$ = $${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$$

7.2 Eigenschaften

$\lambda$ hat einige interessante Eigenschaften, es gilt z.B.:

(i) $\lambda^{{2}}_{}$ = (${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$)² = ${\frac{{1^{2}+2\cdot\sqrt{5}+5}}{{4}}}$ = ${\frac{{3+\sqrt{5}}}{{2}}}$ = 1 + ${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$ = $\lambda$ + 1

(ii) Mit Eigenschaft (i) im Zähler gilt ${\frac{{\lambda+1}}{{\lambda}}}$ = ${\frac{{\lambda^{2}}}{{\lambda}}}$ = ${\frac{{\lambda}}{{1}}}$ = $\lambda$; damit erfüllt $\lambda$ genau die oben geschilderte Definition des goldenen Schnitts. Andererseits ist ${\frac{{\lambda+1}}{{\lambda}}}$ = 1 + ${\frac{{1}}{{\lambda}}}$. Folglich gilt 1 + ${\frac{{1}}{{\lambda}}}$ = $\lambda$ und das ist äquivalent zu ${\frac{{1}}{{\lambda}}}$ = $\lambda$ - 1.

Diese Eigenschaften folgen auch schon daraus, daß $\lambda$ und $\mu$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms x² - x - 1 sind.

(iii) Ferner gilt $\lambda$ ^. $\mu$ = ${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$ ^. ${\frac{{1-\sqrt{5}}}{{2}}}$ = ${\frac{{1^{2}-5}}{{4}}}$ = ${\frac{{-4}}{{4}}}$ = - 1, also $\lambda$ = - $\mu^{{-1}}_{}$ sowie $\mu$ = - $\lambda^{{-1}}_{}$.

7.3 Eine andere Sicht

Lassen wir die Fibonaccifolgen für einen Augenblick ruhen und schreiben die Definition des Goldenen Schnitts nieder, wobei a und b (mit a > b) unsere zwei Zahlen seien, die im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen: ${\frac{{a+b}}{{a}}}$ = ${\frac{{a}}{{b}}}$ . Wir können diese Gleichung normieren, indem wir verlangen, daß die kleinere Zahl 1 ist: ${\frac{{\frac{a}{b}+1}}{{\frac{a}{b}}}}$ = ${\frac{{\frac{a}{b}}}{{1}}}$. Setzen wir nun x : = ${\frac{{a}}{{b}}}$, dann erhalten wir daraus die Gleichung ${\frac{{x+1}}{{x}}}$ = x, die (für x $\neq$ 0) zu x + 1 = x² bzw. x² - x - 1 = 0 äquivalent ist. Diese Gleichung haben wir aber bereits in Abschnitt 6 gelöst. Die einzigen Belegungen für x, die diese Gleichung erfüllen, sind x = ${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$ und x = ${\frac{{1-\sqrt{5}}}{{2}}}$.

Für x = ${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$ > 0 können wir folgern: a und b haben das gleiche Vorzeichen; für x = ${\frac{{1-\sqrt{5}}}{{2}}}$ < 0 gilt analog: a und b müssen verschiedene Vorzeichen besitzen. Da keine weiteren Lösungen existieren, steht zu jeder positiven Zahl a stets genau die positive Zahl b : = ${\frac{{2a}}{{1+\sqrt{5}}}}$ im Verhältnis des Goldenen Schnitts ${\frac{{a}}{{b}}}$ = ${\frac{{a}}{{\frac{2a}{1+\sqrt{5}}}}}$ = a ^. ${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2a}}}$ = ${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$.

Dieses Verhältnis ist eine irrationale Zahl ( ${\frac{{a}}{{b}}}$ = : x $\in$ $\mathbb {R\setminus\mathbb{Q}}$), woraus folgt: Rationale Zahlen stehen niemals zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Diese Eigenschaft gilt dann erst recht für beliebige Teilmengen der rationalen Zahlen, also insbesondere für die natürlichen Zahlen.