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Subsections


4 Folgenwerte von Summen

4.1 fk+j

fk+j = fk+j-1 + fk+j-2 = 2fk+j-2 + fk+j-3 = 3fk+j-3 +2fk+j-4

Wenn wir uns die Koeffizienten näher betrachten, sehen wir, daß es Fibonacci-Zahlen sind; also notieren wir sie auch als solche...

= F4 . fk+j-3 + F3 . fk+j-4 = (F4 + F3) . fk+j-4 + F4 . fk+j-5

= F5 . fk+j-4 + F4 . fk+j-5 = ... =

= Fi+1 . fk+j-i + Fi . fk+j-(i+1)


4.1.1 Spezialisierung 1

Nun spezialisieren wir für i = j :

fk+j = Fj+1 . fk+j-j + Fj . fk+j-j-1 = Fj+1fk + Fjfk-1

Wir halten dieses Ergebnis für den allgemeinen Fall dieser zweistufigen Rekursionsfolgen fest!


4.1.2 Spezialisierung 2

Eine nicht minder interessante Spezialisierung erhalten wir für i = k + j - 1:

fk+j = F(k+j-1)+1 . fk+j-(k+j-1) + Fk+j-1 . fk+j-((k+j-1)+1) = Fk+jf1 + Fk+j-1f0

Wenn wir nun noch n : = k + j substituieren, erhalten wir fn = Fnf1 + Fn-1f0, und das ist fürwahr ein gelungenes Ergebnis!


4.2 f2n

f2n = fn+n = Fn+1 . fn + Fn . fn-1 (mit 4.1.1)

Alternativ erhalten wir unter Anwendung von 3.6.3 fn+n = Ln . fn - (- 1)nfn-n, also f2n = Ln . fn - (- 1)n . f0.


4.3 F2n

Nun spezialisieren wir die obigen Fälle auf die Fibonacci-Folge, setzen also f : = F.

F2n = Fn+1Fn + Fn . Fn-1

= Fn . (Fn+1 + Fn-1) = Fn . Ln (mit 3.5.2)

Dies halten wir als Ergebnis fest, rechnen aber trotzdem weiter:

= (Fn+1 - Fn-1)(Fn+1 + Fn-1)

= Fn+12 - Fn-12

Somit erhalten wir den Satz:

F2n = Fn+12 - Fn-12 = Fn . Ln

4.4 L2n

Mit 4.2 sowie 3.6.6 erhalten wir:

L2n = Fn+1Ln + FnLn-1 = Ln2 - (- 1)n . 2

4.5 F2n-1

Rechnen wir mit obigem Ergebnis weiter:

L2n = Fn+1Ln + FnLn-1 = (Fn + Fn-1)Ln + FnLn-1

= FnLn + Fn-1Ln + FnLn-1

und unter Anwendung von 4.3

= F2n + Fn-1Ln + FnLn-1

somit:

L2n - F2n = Fn-1Ln + FnLn-1

Außerdem ergibt sich wegen Ln = Fn+1 + Fn-1 interessantes:

L2n - F2n = (F2n+1 + F2n-1) - F2n

= F2n + F2n-1 + F2n-1 - F2n = 2F2n-1

also (und dies gilt es festzuhalten!):

F2n-1 = $\displaystyle {\frac{{L_{2n}-F_{2n}}}{{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{F_{n-1}L_{n}+F_{n}L_{n-1}}}{{2}}}$

(Dasselbe Ergebnis hätten wir auch unter Verwendung von 3.6.8 für F-1+2n sowie F(n-1)+n erhalten.)

4.6 L2n-1

L2n-1 = F(2n-1)+1 + F(2n-1)-1 = F2n + F2(n-1) = FnLn + Fn-1Ln-1

4.7 F3n

Unter Anwendung von 3.6.3 erhalten wir

F2n+n + (- 1)n . F2n-n = Ln . F2n

$\displaystyle \Longleftrightarrow$ F3n + (- 1)nFn = Ln(LnFn) = Ln2Fn

$\displaystyle \Longleftrightarrow$ F3n = FnLn2 - Fn(- 1)n = Fn . (Ln2 - (- 1)n)

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Thorsten Reinecke 2004-07-11