1 Einführung

1.1 Motivation und Definition

Viele Phänomene in der Natur lassen sich mathematisch über die Fibonacci-Folge oder abgewandelte Folgen erklären. Diese Folgen bilden sozusagen einen natürlichen Gegenpol zu den Zweierpotenzen, die in binärer Schreibweise das heutige Informationszeitalter beherrschen.

In Binärdarstellung repräsentiert das jeweils nächsthöhere Bit bekanntlich den doppelten Wert des Vorgängerwertes, wobei das niedrigste Bit den Wert 1 repräsentiert. Die Wertigkeiten dieser Bits lassen sich somit als Folge notieren: b₀ : = 1 und b_n+1 : = 2 ^. b_n = b_n + b_n oder in direkter Form durch b_n : = 2ⁿ.

Wandelt man diesen Ansatz auf zwei abhängige Folgenglieder ab, so erhält man rekursiv definierte Folgen der Form f_n : = f_n-1 + f_n-2. Für den Spezialfall f₀ : = 0 und f₁ : = 1 bezeichnet f_n die Fibonacci-Folge F_n. Diese Folge wollen wir im folgenden näher betrachten.

Wenn nachfolgend nichts weiter über die Glieder f₀ sowie f₁ ausgesagt wird, so gelten die betrachteten Eigenschaften für alle Folgen dieser Form, deren Startwerte definiert sind. Ein zweiter Spezialfall ergibt sich für die Belegung f₀ : = 2 , f₁ : = 1; die hierdurch definierte Folge nennen wir Lucasfolge L_n.

Doch stellen wir zunächst eine kleine Tabelle mit einigen Fibonacci- und Lucaszahlen auf (Tabelle 1):

Table 1: Werte der Fibonacci- und Lucasfolge

Table 1: Werte der Fibonacci- und Lucasfolge

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Fn	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610
Ln	2	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	199	322	521	843	1364

Wir sehen deutlich, wie sich (mit Ausnahme der ersten beiden Folgenglieder) jedes Folgenglied aus der Summe der beiden vorherigen Glieder errechnet. Dies ist die grundlegende Eigenschaft aller Folgen, die wir hier betrachten wollen.

1.2 Vom Geschlechtsleben der Bienen

Wer seine Kinder aufklärt, sollte nicht mit den Bienen anfangen, es sei denn, er will über Fibonacci-Folgen referieren. Da ich letzteres beabsichtige, komme ich um das Geschlechtsleben der Bienen nicht herum.

In jedem Bienenstamm gibt es (unter anderem) eine Königin und auch ein paar Männchen. Diejenigen Eier der Königin, die in den Genuß kamen, von Männchen befruchtet zu werden, reifen später zu Weibchen heran, wohingegen die unbefruchteten Eier zu Männchen heranreifen. Weibchen haben also biologisch gesehen einen Vater und eine Mutter; Männchen hingegen nur eine Mutter und sind somit vaterlose Geschöpfe!

Betrachten wir nun die Anzahl der Individuen, die genetisch in der jeweiligen Generation Einfluß auf die Erbanlagen des Bienenmännchens Willy und seines menschlichen Namensvetterns genommen haben:

Die Bienendrohne Willy hat nur eine Mutter, diese wiederum hat zwei Eltern; der Großvater Willy´s hat nur eine eine Mutter, Willy´s Großmutter wiederum zwei Eltern, usw. Auch hier begegnet uns die Fibonacci-Folge². Den Menschen liegt das Binärsystem hingegen schon in den Genen verankert.

Table 3: Willy´s Vorfahren

Table 3: Willy´s Vorfahren

	Willy	Eltern	Großeltern	Urgroßeltern	Ururgroßeltern	Ururur...	Urururur...
Bienen	1	1	2	3	5	8	13
Menschen	1	2	4	8	16	32	64