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Über Fibonacci-Folgen
Thorsten Reinecke
1
Date:
(2003-01-30, aktualisiert 2004-06-06)
Abstract:
In dieser Ausarbeitung werden einige grundlegende und altbekannte Erkenntnisse und Eigenschaften über Fibonacci-Folgen hergeleitet sowie die Lucasfolge motiviert.
Vorbemerkungen und Erläuterungen
1
Einführung
1
.
1
Motivation und Definition
1
.
2
Vom Geschlechtsleben der Bienen
2
Grundlegendes
2
.
1
Formale Definitionen
2
.
2
Einige Eigenschaften
2
.
2
.
1
Gemeinsame Teiler
2
.
2
.
2
Periodizität in Restklassen
2
.
2
.
2
.
1
Allgemeine Betrachtung
2
.
2
.
2
.
2
Beispiel
2
.
2
.
2
.
3
Wir halten beispielhaft folgende Eigenschaften fest:
2
.
2
.
2
.
4
Die letzte Dezimalstelle
2
.
3
Negative Indices
2
.
3
.
1
F
-n
2
.
3
.
1
.
1
Beweis:
2
.
3
.
2
L
-n
2
.
3
.
2
.
1
Beweis:
3
Summen von Folgenwerten
3
.
1
k=2
3
.
2
k=4
3
.
3
k
= 2
j
3
.
4
Umstellungen
3
.
5
k=1
3
.
5
.
1
k
= 1
im allgemeinen
3
.
5
.
2
k
= 1
im besonderen: die Lucasfolge
3
.
5
.
3
wundersame Koeffizienten
3
.
6
k verallgemeinert
3
.
6
.
1
k
= 1
3
.
6
.
2
k
= 3
3
.
6
.
3
eine allgemeine Formel
k
= 0
:
f
n+0
+1
.
f
n-0
= 2
f
n
=
L
0
.
f
n
(wahr)
k
= 1
:
f
n+1
+ (- 1)
.
f
n-1
=
f
n
+
f
n-1
-
f
n-1
= 1
.
f
n
=
L
1
.
f
n
(wahr)
k
+ 1
:
3
.
6
.
4
negative Indices erneut betrachtet
3
.
6
.
5
Spezialisierung für
L
n+k
3
.
6
.
6
Spezialisierung für
L
2n
3
.
6
.
7
L
3n
3
.
6
.
8
F
n+k
3
.
6
.
8
.
1
Spezialfall
n
=
k
3
.
6
.
9
F
n-k
3
.
7
Resümee
4
Folgenwerte von Summen
4
.
1
f
k+j
4
.
1
.
1
Spezialisierung 1
4
.
1
.
2
Spezialisierung 2
4
.
2
f
2n
4
.
3
F
2n
4
.
4
L
2n
4
.
5
F
2n-1
4
.
6
L
2n-1
4
.
7
F
3n
5
Teilbarkeiten
5
.
1
F
k
.
n
und Primzahlen
Folgerung:
Umkehrschluß:
5
.
2
L
(2k+1)n
5
.
3
Natürliche Zahlen als Teiler
5
.
3
.
0
.
1
Beweis:
5
.
4
Fünf Kostbarkeiten
5
.
4
.
1
Primfaktoren an Primstellen
5
.
4
.
1
.
1
Beweis:
5
.
4
.
2
Teilerfremde Indices
5
.
4
.
2
.
1
Beweis:
5
.
4
.
3
Fibonaccizahlen mit gemeinsamen Teiler
5
.
4
.
3
.
1
Beweis:
5
.
4
.
4
Indices mit gemeinsamen Teiler
5
.
4
.
4
.
1
Beweis:
5
.
4
.
5
Teilerfremde Fibonaccizahlen
5
.
4
.
5
.
1
Beweis:
6
Geschlossene Form
7
Goldener Schnitt
7
.
1
Berechnung
7
.
2
Eigenschaften
7
.
3
Eine andere Sicht
8
Noch eine Berechnungsmethode für Fibonaccizahlen
8
.
0
.
0
.
1
Eine neue Struktur
8
.
0
.
0
.
2
Algorithmus
9
Weitere Formeln
9
.
1
F
2n
=
F
i
9
.
2
F
k
.
n
=
F
i
.
F
k
i .
F
k-1
n-i
9
.
3
F
n-
.
F
n+
9
.
3
.
0
.
1
Beweis:
9
.
4
F
n-
.
F
n-1+
9
.
4
.
1
Lemma
9
.
4
.
2
Formel und zugehöriger Induktionsbeweis
9
.
5
Nochmalige Betrachtung von Periodizität und Teilbarkeit
9
.
5
.
1
Die Fälle
(
) = 1
9
.
5
.
1
.
1
Zusammenfassung dieser Ergebnisse
9
.
5
.
2
Die Fälle
(
) = - 1
9
.
5
.
2
.
1
Beweis:
10
Ein >>einfacher<< Faktorisierungsalgorithmus
10
.
0
.
1
Beispiel
10
.
0
.
2
Bemerkungen:
10
.
0
.
3
Zusätzliche Hinweise und Ausblicke
Bibliography
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Thorsten Reinecke 2004-07-11
Fi
. Fn+
) = 1