Vizemeister im K.O.-System - Gedanken zur Validität und Verifizierbarkeit von Turniersystemen

Thorsten Reinecke1

Das K.O.-System

Das K.O.-System ist ein Wettbewerb, an dem n Teilnehmer (Spieler oder Mannschaften) teilnehmen. Ziel des Wettbewerbs ist es, einen Sieger zu küren. Die Anzahl der Teilnehmer ist üblicherweise eine Zweierpotenz. Der Wettbewerb besteht aus log2n Runden; die letzte Runde heißt Finale, die vorletzte Runde Halbfinale, die vorvorletzte Viertelfinale (usw.).

In der ersten Runde sind alle n Teilnehmer beteiligt. In jeder Runde werden die noch Wettbewerb befindlichen Teilnehmer in Paare aufgeteilt, so dass jeder Teilnehmer genau einmal gegen einen anderen wettstreitet. Der Wettstreit ist so angelegt, dass sowohl Sieger als auch Verlierer des Wettstreits eindeutig bestimmt ist. Der Verlierer eines jeden Wettstreits scheidet aus dem Wettbewerb aus, wohingegen der Sieger in die nächste Runde kommt. Mit jeder Runde halbiert sich so die Anzahl der noch im Wettbewerb stehenden Teilnehmer. Der Sieger des Finales ist der Sieger des Wettbewerbs (und bekommt üblicherweise den Titel eines Wettbewerbsmeisters zugesprochen). Der Verlierer des Finales erhält den Titel des Vizemeisters.

Manchmal treten auch die beiden Verlierer des Halbfinales noch gegeneinander an; ein solcher Wettstreit nennt sich dann ``Kleines Finale'' oder ``Spiel um Platz 3 und 4''.

Die Paare, die in den jeweiligen Runden (bis auf das Finale) wettstreiten, müssen über irgendein Auswahlverfahren bestimmt werden. Üblicherweise wird das Auswahlverfahren vor Beginn des Wettbewerbs festgelegt. Um bei einer solchen Festlegung zu verhindern, dass die vermutlich stärksten Teilnehmer (und damit potentielle Sieger) frühzeitig gegeneinander antreten müssen, werden sie ``gesetzt'', d.h. man legt eine vermutliche Rangordnung der Teilnehmer aus einer wettbewerbsexternen Quelle zugrunde, und ordnet die Paarbildungen einer jeden Runde so an, dass die potentiellen Finalisten erst im Finale aufeinander treffen können.

Denkbare Setzungen

Die Möglichkeiten, eine Setzung vorzunehmen, ist nicht eindeutig. Nachfolgend sind drei Systeme tabellarisch erfasst. Es wird dabei jeweils davon ausgegangen, dass die Spiele gemäß der Setzung verlaufen.

Verzicht auf Setzung, worst-case Szenario

Finalsieger                       1                      
Finale           1         -           9          
Halbfinale     1     -     5           9     -     13    
Viertelfinale   1 - 3       5 - 7       9 - 11       13 - 15  
Achtelfinale 1 2   3 4   5 6   7 8   9 10   11 12   13 14   15 16

Bei diesem Szenario wird besonders deutlich, dass im schlimmsten Fall der Finalgegner der beste Teilnehmer der schlechteren Hälfte der Gesamtteilnehmer sein kann. Der eigentlich (nach Annahme) zweitbeste Teilnehmer scheidet bereits in der ersten Runde gegen den späteren Turniersieger aus.

Exkurs: Verzicht auf Setzung, eine average-case Betrachtung

Wenn das Turnier aus n Runden besteht, dann gibt es in der n-ten Runde 2n Teilnehmer. Die Setzung des späteren Turniersiegers erfolge an beliebiger Stellte; für den ``wirklichen'' Zweitbesten verbleiben dann noch 2n - 1 Möglichkeiten der Setzung. In 2n-1 dieser Fälle kann der Zweitbeste erst im Finale auf den späteren Finalsieger treffen und wird daher korrekterweise Vizemeister. In den übrigen 2n-1 - 1 Fällen der Setzung muss er jedoch bereits vorzeitig gegen den späteren Finalsieger antreten und kommt deshalb nicht bis ins Finale.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit für alle Setzungsmöglichkeiten als gleichverteilt annehmen, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit des günstigen Falls ist genau $ {\frac{{\textnormal{Anzahl der g\uml {u}nstigen F\uml {a}lle}}}{{\textnormal{Anzahl aller F\uml {a}lle}}}}$, also $ {\frac{{2^{n-1}}}{{2^{n}-1}}}$. - Bei den tabellarisch betrachteten Turnieren mit 4 Runden beträgt diese also $ {\frac{{8}}{{15}}}$ und damit etwa 53%. In einem 4-rundigen Turnier mit zufälliger (gleichverteilter Setzung) ist der Verlierer des Finales also nur mit 53% Wahrscheinlichkeit der zweitbeste Turnierteilnehmer!

Setzung mit maximalem Vorteil für Favoriten

Finalsieger                       1                      
Finale           1         -           2          
Halbfinale     1     -     4           2     -     3    
Viertelfinale   1 - 8       4 - 5       2 - 7       3 - 6  
Achtelfinale 1 16   8 9   4 13   5 12   2 15   7 10   3 14   6 11

Um das obige Szenario zu vermeiden, versucht man, die Teilnehmer so zu setzen, dass die vermutlich stärksten Teilnehmer erst gegen Ende des Turniers aufeinander treffen können. Doch auch dieses Verfahren ist nicht eindeutig: Die hier skizzierte Setzung erfüllt alle Bedingungen, so dass in der jeweils nächsten Runde alle Gegner nach Setzung vorhanden sind. Trotzdem bevorteilt sie die Favoriten, in dem sie dem Favoriten des Turniers in jeder Runde den (nach Setzung vermuteten) schlechtmöglichsten Gegner zuordnet. Dieser wiederum hatte in der Vorrunde sein schwerstmöglichstes Spiel zu bestreiten. Diese Setzungsform erreicht man dadurch, dass die Summe der gesetzten Platzierungen innerhalb einer jeden Runde für jedes Spiel konstant ist: 1+16=8+9=4+13 usw.

Setzung mit minimalem Vorteil für Favoriten

Finalsieger                       1                      
Finale           1         -           2          
Halbfinale     1     -     3           2     -     4    
Viertelfinale   1 - 5       3 - 7       2 - 6       4 - 8  
Achtelfinale 1 9   5 13   3 11   7 15   2 10   6 14   4 12   8 16

Die hier beschriebene Setzung mag man als gerechter empfinden, da bei ihr die Differenz der Paarungen in jeder Runde konstant ist: 9-1=13-8=11-3 usw., hier spielt also der bestgesetzte der oberen Hälfte gegen den bestgesetzten der unteren Hälfte, der zweitbeste der oberen Hälfte gegen den zweitbesten der unteren Hälfte und so weiter...

Doch die generelle Problematik der Setzungen ist auch hier erkennbar und unvermeidlich: Wenn der tatsächliche Turnierverlauf nicht den erwarteten Setzungen entspricht, so treffen im Finale nicht notwendigerweise die beiden besten Teilnehmer aufeinander. Wenn z.B. der auf 6 gesetzte Teilnehmer tatsächlich der beste Spieler sein sollte und der auf 2 gesetzte der zweitbeste, so kommt nur die 6 ins Finale.

In gewisser Weise haben Setzungen also immer die Eigenschaft, den Status Quo zu erhalten oder andernfalls ungerechte Platzierungen zu liefern. Generell gesehen können die favorisierten Spieler jedenfalls mit höherer Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, als Finalteilnehmer ein Preisgeld zu erhalten als der entgegen einer Setzung tatsächlich ``zweitbeste'' Teilnehmer. (Wenn z.B. auch nur die Plätze 3 und 2 in diesem Beispiel falsch herum gesetzt sind, so geht der der auf 3 gesetzte Teilnehmer leer aus.)

Für eine Wahrscheinlichkeitsuntersuchung kann man bei solchen Setzungsverfahren nicht mehr von einer Gleichverteilung ausgehen; sie wird daher ungleich schwieriger, da man die Wahrscheinlichkeiten der Korrektheit der einzelnen Setzungen berücksichtigen müsste. Diese Wahrscheinlichkeiten sind aber im allgemeinen nicht bekannt.

Exkurs: Von Vergleichsrelationen

Wenn wir Datensätze miteinander vergleichen wollen, so benötigen wir eine Vergleichsoperation, die eine totale Ordnung auf der Menge der Datensätze definiert. Mathematisch gesehen sollte es sich um eine Relation handeln, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und total ist:

Anzumerken wäre, dass sich ``Gleichheit'' bzw. ``Ungleichheit'' bei den Eigenschaften Antisymmetrie und Totalität immer nur auf das Sortierkriterium beziehen und nicht notwendigerweise auf die Datensätze selbst.

Der wohl interessanteste Aspekt an einer Ordnungsrelation ist die Transitivität: Sie besagt, dass wenn A besser ist als B, und B besser ist als C, dann auch A besser als C sein muss, - und das, obwohl A und C niemals direkt miteinander verglichen wurden!

Implizite Annahmen I

Rangfolgen kann man nur bilden, wenn eine Ordnungsrelation zugrundegelegt wird. Die Bildung einer Rangfolge ist dann meist eine Sortierung mittels einer geeigneten Vergleichsoperation. Wenn wir das K.O.-System betrachten, dann liegt es nahe, den Wettstreit mit einer einer Vergleichsoperation zu identifizieren. (Von allen Wettbewerbssystemen dürfte das K.O.-System aufgrund seiner Konstruktion wohl am stärksten von der Korrektheit dieser Annahme ausgehen.)

Reflexivität und Antisymmetrie sind per Konstruktion gegeben: Ein Teilnehmer kann nicht gegen sich selbst antreten und ein ``Unentschieden'' als Resultat eines Wettstreits ist nicht möglich. Auch die Totalität wird zumindest niemals widerlegt, da davon ausgegangen wird, dass alle im Spielplan vorhandenen Wettstreite ein eindeutiges Resultat liefern werden. Das System ist auch so angelegt, dass der Transitivität nicht widersprochen wird: Der Sieger des Finales hat jeden seiner Wettstreite gewonnen. Jeder im Wettbewerb durchgeführte Wettstreit ist so konstruiert, dass er der Transitivitätsannahme nicht widersprechen kann.

Nehmen wir daher einmal an, dass die Transitivitätsannahme temporär für die Dauer des Wettbewerbs gerechtfertigt wäre. - Nur dann dürften wir von einer Rangfolge sprechen, nur dann hätte der Titel ``Wettbewerbsmeister'' einen wirklichen Wert.

Implizite Annahmen II

Betrachten wir nun den mathematischen Laien. Dieser geht - ohne Kenntnis von mathematischen Definitionen - automatisch von einer Rangordnung aus, wenn der die Ergebnisse eines Wettbewerbs nach dem K.O.-System betrachtet. Für den Laien ist ganz klar: Der Sieger des Finales ist der Erste. Der Verlierer des Finales ist der Zweite. Der Gewinner des kleinen Finales ist der Dritte. Der Verlierer des kleinen Finales ist der Vierte. Die anderen sind nicht genügend oft gegeneinander angetreten, so dass die Rangfolge hier abbricht.

Aber ohne Zweifel muss es doch einen Grund geben, warum bei vielen Tennisturnieren die beiden Finalisten jeweils Preisgelder erhalten. Und es muss doch auch einen Grund dafür geben, warum bei der Fußballweltmeisterschaft ein kleines Finale um den dritten und vierten Platz geführt wird...

Modell und Wirklichkeit I (Verifikation des Modells)

Nehmen wir nun einmal an, die Eigenschaften der Ordnungsrelation wären erfüllt. Inwieweit entspricht dann die durch das K.O.-System ermittelte ``Rangfolge'' der (unter den gegebenen Annahmen) wirklichen ``mathematisch'' korrekten Rangfolge?

Nun, der Finalsieger ist tatsächlich erster, denn wie der Turnierbaum verdeutlicht, würde alles andere der Transitivitätsannahme widersprechen.

Nehmen wir nun an, dass der mathematisch ``wirkliche'' Zweitplatzierte falsch gesetzt wäre und z.B. in der ersten Runde gegen den späteren Turniersieger wettstreiten müsste: Er würde ohne Chance auf irgendeine Platzierung aus dem Wettbewerb ausscheiden!

Mit dem richtigen ``Setzen'' der Teilnehmer können wir daher tatsächlich die Wahrscheinlichkeit eines mathematisch korrekten Ergebnisses für den zweiten Platz positiv beeinflussen. Wenn man dies aber im vornherein wüsste, könnte man sich das Turnier auch schenken. - Was aber schlimmer ist: Außenseiter haben kaum eine Chance auf einen der vorderen Plätze, da sie schon frühzeitig die Favoriten kegeln müssen!

Besonders sinnlos ist jedoch der Wettstreit um den dritten und vierten Platz, da dieser nur dann zu einem sinnvollen Ergebnis führen könnte, wenn alle Teilnehmer des Halbfinales auf einen der ersten vier Plätze gesetzt waren!

Wenn wir hingegen davon ausgehen, dass die Paarbildungen gelost (oder anderweitig zufällig) bestimmt wurden, dann ist mit Ausnahme des Finalsiegers keiner der vorderen Plätze eindeutig bestimmt worden: Jeder Teilnehmer, der in irgendeiner Runde gegen den Finalsieger verloren hat, könnte mit dem gleichen Recht der Zweitplatzierte sein.

Fazit (Verifikation)

Ein Modell sollte nach den Gesichtspunkten der Verifikation in sich selbst stimmig sein und daher seinen Modellannahmen genügen. Das K.O.-System bestimmt unter den getroffenen Annahmen einen eindeutigen Turniersieger; jede weitere Rangordnung ist (selbst unter den Modellannahmen) nicht verifizierbar.

Modell und Wirklichkeit II (Validität des Modells)

Ein generelles Problem wirft die Fragestellung auf, ob die mathematischen Eigenschaften der Ordnungsrelation überhaupt auf die Wirklichkeit übertragbar sind, ob das Modell also valide ist.

Zunächst einmal gibt es viele Wettstreits, die auch mit einem Unentschieden enden können, so dass die Bestimmung eines eindeutigen Siegers nicht generell möglich ist.

Die Wiederholbarkeit der Ergebnisse (selbst innerhalb einer kurzen Turnierzeitspanne) ist ebenfalls nicht notwendigerweise gegeben: Die Wiederholung eines Wettstreits der selben Teilnehmer muss nicht zwangsläufig zum selben Resultat führen.

Es ist aber auch generell denkbar, dass es Sportarten, Spiele oder Wettstreite gibt, wo die Teilnehmer mit unterschiedlichen Strategien, Taktiken oder Methoden auftreten, die sich wechselseitig überlegen sind. So könnte bereits bei drei Teilnehmern eine Situation auftreten, in der für die Teilnehmer A,B,C wiederholbar gilt: A besiegt B, B besiegt C, C besiegt A. Dies wäre ein sehr einfaches Beispiel der Verletzung der Transitivität.

Üblicherweise begegnet man diesen Schwierigkeiten der Validität dadurch, dass man ein Ersatzsystem konstruiert und die Rangfolge auf das modellbezogene Ersatzsystem definiert. Eine Liga mit Punktsystem oder ein Turnier mit Gruppen sind hierfür Beispiele. Jeder Teilnehmer tritt (wenn Rückspiele stattfinden sogar zweimal) gegen jeden anderen an, das Ergebnis eines jeden Wettstreits wird durch Punkte bewertet. Anschließend wird die Rangordnung über eine Sortierung nach Punkten ermittelt.

Fazit (Validität)

Sämtliche denkbaren Turniersysteme sind inhärent invalide, wenn sie eine der Wirklichkeit entsprechende allgemein akzeptierte Rangordnung der Teilnehmer im mathematischen Sinne bestimmen sollen. Diese Problematik lässt sich jedoch durch einen Kunstgriff umgehen: Die (möglicherweise partielle) Rangordnung ist eindeutig bestimmbar, wenn man die Turnierbedingungen zur singulären temporal akzeptierbaren Wirklichkeit erklärt und das erklärte Modell in sich widerspruchsfrei ist.

Exkurs: Von Sortieralgorithmen

Wenn wir auf der Basis von Vergleichsoperationen n Datensätze sortieren wollen und keine Vorsortierung dieser Datensätze vorliegt, so benötigen wir hierfür größenordnungsmäßig3 mindestens $ \Omega$(n . log2n) Vergleichsoperationen. - Dies lässt sich über einen Entscheidungsbaum nachweisen, der alle n! möglichen Permutationen dieser n Datensätze enthält. Eine dieser Permutationen ist dann unsere gewünschte Sortierung. Mit weniger als log2(n!) Vergleichen können wir diese aber nicht bestimmen.4

Dass diese untere Schranke dann auch erreicht wird, zeigt man am besten konstruktiv: Man gibt einen Sortieralgorithmus dann, der die Datensätze in O(n . log2n) Vergleichsoperationen sortiert. Ein solcher Algorithmus ist z.B. Heapsort.

Als Konsequenz bleibt festzuhalten: Ein ideales Turnier sollte in seiner Umsetzung einem (möglichst effizienten) Sortieralgorithmus entsprechen. Dann liefert das Turnier (wenn es denn valide ist) auch verifizierbare Ergebnisse in vertretbarer Zeit.

Implizite Turnierbedingungen

Nun könnte man das oben angesprochene Problem der unbestimmten Platzierungen ja einfach dadurch lösen, dass man einen geeigneten Sortieralgorithmus für das Turnier verwendet; in der Informatik sind schließlich genügend viele effiziente Sortieralgorithmen bekannt... - Doch halt: Die impliziten Annahmen des Turnierveranstalters dürfen nicht außer acht gelassen werden!

Zum einen muss ein möglichst fixer Spielplan mit Terminen der Wettstreite geplant werden können. Die Anzahl der Wettstreite und deren Austragungsorte sollten also bereits vor Turnierbeginn bekannt sein, um die Ressourcenbereitstellung zu vereinfachen (Austragungsort muss belegt werden, Fernsehübertragungen, Werbeverträge, Eintrittskarten, etc.).

Zum anderen ist es nicht gewünscht, dass ein Teilnehmer übermäßig viele Wettstreite in Folge absolvieren muss. So scheidet z.B. Quicksort als Verfahren aus5, da hierfür für jede Runde ein Pivotelement herausgegriffen werden müsste: In Folge dessen würde ein Teilnehmer dann in einer Runde gegen alle restlichen Teilnehmer der Runde antreten müssen.

Außerdem wird gewünscht, dass die Wettstreits innerhalb einer Runde unabhängig voneinander stattfinden können, dies setzt also einen hohen Grad an Parallelisierbarkeit des Verfahrens voraus.

Ein weiterer Aspekt ist, dass nach der Bestimmung eines Turniersiegers möglicherweise noch verbleibende Wettstreite zur Bestimmung weiterer Platzierungen an Attraktivität verlieren. Der Turniersieger sollte daher möglichst erst nach Abschluss des letzten Turnierwettstreits feststehen.6

Schließlich muss das Turnier nach einer sinnvoll begrenzten Anzahl von Wettstreits beendet werden können; ineffiziente Sortierverfahren können also nicht benutzt werden, wenn die Anzahl der Teilnehmer eine gewisse Größe übersteigt.

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Vizemeister im K.O.-System - Gedanken zur Validität und Verifizierbarkeit von Turniersystemen

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The translation was initiated by Thorsten Reinecke on 2004-04-25


Footnotes

... Reinecke1
reinecke@thorstenreinecke.de
... (oder2
Wobei das letztere ``oder'' auch wegfallen darf, da in der Mathematik das ``oder'' immer ein nicht-exklusives ist und der Fall x = y über die Antisymmetrie und Reflexivität folgt.
... größenordnungsmäßig3
Da es sich um eine untere Schranke handelt, sollte man nicht die O-Notation verwenden, da diese eine Wort-Case-Abschätzung und damit eine obere Schranke beschreibt. Für untere Schranken ist die $ \Omega$-Notation zu verwenden:

O(f ): = $ \left\{\vphantom{ g:\mathbb{N\rightarrow}g(\mathbb{N})\vert\exists c>0\:\exists n_{0}\:\forall n\geq n_{0}:g(n)\leq c\cdot f(n)}\right.$g : $ \mathbb {N\rightarrow}$g($ \mathbb {N}$)|$ \exists$c > 0 $ \exists$n0 $ \forall$n $ \geq$ n0 : g(n) $ \leq$ c . f (n)$ \left.\vphantom{ g:\mathbb{N\rightarrow}g(\mathbb{N})\vert\exists c>0\:\exists n_{0}\:\forall n\geq n_{0}:g(n)\leq c\cdot f(n)}\right\}$

$ \Omega$(f ): = $ \left\{\vphantom{ g:\mathbb{N\rightarrow}g(\mathbb{N})\vert\exists c>0\:\exists n_{0}\:\forall n\geq n_{0}:g(n)\geq c\cdot f(n)}\right.$g : $ \mathbb {N\rightarrow}$g($ \mathbb {N}$)|$ \exists$c > 0 $ \exists$n0 $ \forall$n $ \geq$ n0 : g(n) $ \geq$ c . f (n)$ \left.\vphantom{ g:\mathbb{N\rightarrow}g(\mathbb{N})\vert\exists c>0\:\exists n_{0}\:\forall n\geq n_{0}:g(n)\geq c\cdot f(n)}\right\}$

Bemerkung: Man kann manchmal daran interessiert sein, für die gebundene Variable c ausschließlich natürliche Zahlen zu verwenden und diese einheitlich auf die linke Seite der Ungleichungen zu bringen; dann erhält man z.B. die äquivalenten Notierungen

O(f )= $ \left\{\vphantom{ g:\mathbb{N\rightarrow}g(\mathbb{N})\vert\exists c>0\:\exists n_{0}\:\forall n\geq n_{0}:\frac{g(n)}{c}\leq f(n)}\right.$g : $ \mathbb {N\rightarrow}$g($ \mathbb {N}$)|$ \exists$c > 0 $ \exists$n0 $ \forall$n $ \geq$ n0 : $ {\frac{{g(n)}}{{c}}}$ $ \leq$ f (n)$ \left.\vphantom{ g:\mathbb{N\rightarrow}g(\mathbb{N})\vert\exists c>0\:\exists n_{0}\:\forall n\geq n_{0}:\frac{g(n)}{c}\leq f(n)}\right\}$

$ \Omega$(f )= $ \left\{\vphantom{ g:\mathbb{N\rightarrow}g(\mathbb{N})\vert\exists c>0\:\exists n_{0}\:\forall n\geq n_{0}:c\cdot g(n)\geq f(n)}\right.$g : $ \mathbb {N\rightarrow}$g($ \mathbb {N}$)|$ \exists$c > 0 $ \exists$n0 $ \forall$n $ \geq$ n0 : c . g(n) $ \geq$ f (n)$ \left.\vphantom{ g:\mathbb{N\rightarrow}g(\mathbb{N})\vert\exists c>0\:\exists n_{0}\:\forall n\geq n_{0}:c\cdot g(n)\geq f(n)}\right\}$

...4
Es gilt log2(n!) $ \geq$ log2(($ {\frac{{n}}{{2}}}$)$\scriptstyle {\frac{{n}}{{2}}}$) = $ {\frac{{n}}{{2}}}$ . log2($ {\frac{{n}}{{2}}}$) = $ {\frac{{n}}{{2}}}$ . (log2n) - $ {\frac{{n}}{{2}}}$; setze c : = 4 und n0 : = 2, dann gilt für n > n0 : c . log2(n!) $ \geq$ c . ($ {\frac{{n}}{{2}}}$ . (log2n) - $ {\frac{{n}}{{2}}}$) = 2n . (log2n) - 2n $ \geq$ (n . log2n) + n . 2 - 2n = n . log2n. Daraus folgt log2(n!) $ \in$ $ \Omega$(n . log2n).
... aus5
Ganz abgesehen davon, dass bei Quicksort die Anzahl der Vergleichsoperationen nicht genau vorhersagbar ist.
...6
Diese Eigenschaft macht beispielsweise das bekannte Partyspiel ``Reise nach Jerusalem'' so ungeheuer spannend, da hier die ``Rangfolge'' von hinten aufgebaut wird.
Thorsten Reinecke 2004-04-25